Question

15．已知，如图，将抛物线y₁=-（x-1）²+1，y₂=-（x-2）²+2，y₃=-（x-3）²+3，…，y_n=-（x-n）²+n（n为正整数）称为“系列抛物线”，其分别与x轴交于点O，A，B，C，E，F，…．
（1）①抛物线y₁的顶点坐标为（1，1）；
②该“系列抛物线”的顶点在直线y=x上；
③y_n=-（x-n）²+n与x轴的两交点之间的距离是2$\sqrt{n}$．
（2）是否存在整数n，使以y_n=-（x-n）²+n的顶点及该抛物线与x轴两交点为顶点的三角形是等边三角形？
（3）以y_n=-（x-n）²+n的顶点P为一个顶点作该二次函数图象的内接等边△PMN（M，N两点在该二次函数的图象上），请问：△PMN的面积是否会随着n的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①利用二次函数的性质确定抛物线y₁的顶点坐标；
②利用抛物线y_n=-（x-n）²+n的顶点坐标特征，即顶点的横纵坐标相等可判断该“系列抛物线”的顶点在第一、三象限的角平分线上；
③通过解方程-（x-n）²+n=0得到抛物线与x轴的两点坐标，从而得到抛物线与x轴的两交点之间的距离；
（2）如图1，抛物线的顶点为P（n，n），抛物线交x轴于G、K两点，作PH⊥x轴于H，则GK=2$\sqrt{n}$，根据等边三角形的性质得到∠PGK=60°，GH=KH=$\sqrt{n}$，再根据正切的定义可得n=$\sqrt{n}$tan60°，然后解方程即可；
（3）如图2，作PH⊥x轴于H，利用抛物线的对称性可得MN∥x轴，设M（t，-（t-n）²+t），则HM=n-t，PH=（t-n）²+n-t，再根据等边三角形的性质和正切的定义得到（t-n）²+n-t=$\sqrt{3}$（n-t），则可求出n-t=$\sqrt{3}$，则MN=2$\sqrt{3}$，PH=3，然后根据三角形面积公式可计算出S_△PMN=3$\sqrt{3}$，于是可判断△PMN的面积不会随着n的变化而变化．

解答 解：（1）①抛物线y₁的顶点坐标为（1，1）；
②抛物线y_n=-（x-n）²+n的顶点坐标为（n，n），即顶点的横纵坐标相等，
所以该“系列抛物线”的顶点在直线y=x上；
③当y=0时，-（x-n）²+n=0，解得x₁=n-$\sqrt{n}$，x₂=n+$\sqrt{n}$，则抛物线与x轴的两点坐标分别为（n-$\sqrt{n}$，0），（n+$\sqrt{n}$，0），
所以y_n=-（x-n）²+n与x轴的两交点之间的距离为n+$\sqrt{n}$-（n-$\sqrt{n}$）=2$\sqrt{n}$；
故答案为（1，1），直线y=x，2$\sqrt{n}$；
（2）存在．
如图1，抛物线y_n=-（x-n）²+n的顶点为P（n，n），抛物线交x轴于G、K两点，作PH⊥x轴于H，则GK=2$\sqrt{n}$，
∵△PGK为等边三角形，
∴∠PGK=60°，GH=KH=$\sqrt{n}$，
在Rt△PGH中，∵tan∠PGH=$\frac{PH}{GH}$，
∴n=$\sqrt{n}$tan60°，解得n₁=3，n₂=0（舍去），
∴当n为3时，使以y_n=-（x-n）²+n的顶点及该抛物线与x轴两交点为顶点的三角形是等边三角形；
（3）△PMN的面积不会随着n的变化而变化．
如图2，作PH⊥x轴于H，
∵点P为抛物线的顶点，△PMN为等边三角形，
∴点M和点N为对称点，
∴MN∥x轴，
设M（t，-（t-n）²+t），则HM=n-t，PH=n-[-（t-n）²+t]=（t-n）²+n-t，
∵△PMN为等边三角形，
∴MH=NH，∠PMN=60°，
在Rt△PMH中，∵tan∠PMH=$\frac{PH}{MH}$，
∴（t-n）²+n-t=$\sqrt{3}$（n-t），
∴n-t=$\sqrt{3}$，即MH=$\sqrt{3}$，
∴MN=2MH=2$\sqrt{3}$，PH=3，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$•3•2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
即△PMN的面积不会随着n的变化而变化，它为定值3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等边三角形的性质；会求抛物线与x轴的交点坐标；理解坐标与图形性质．