Question

8．如图，直线y=kx-4（k＞0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第一象限内交于点R，与x，y轴的交点分别为P，Q；过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分别将x=0、y=0代入一次函数解析式求出与之对应的y、x值，由此即可得出点Q、P的坐标，再根据RM⊥x轴结合公共角∠OPQ=∠MPR即可得出△OPQ∽△MPR，结合两三角形面积相等即可得出△OPQ≌△MPR，依据全等三角形的性质即可得出点R的坐标，将其代入反比例函数解析式中即可得出关于k的分式方程，解之即可得出结论．

解答 解：当x=0时，y=kx-4=-4，
∴点Q（0，-4）；
当y=kx-4=0时，x=$\frac{4}{k}$，
∴点P（$\frac{4}{k}$，0）．
∵RM⊥x轴，
∴∠POQ=∠PMR=90°．
又∵∠OPQ=∠MPR，
∴△OPQ∽△MPR．
∵△OPQ与△PRM的面积相等，
∴△OPQ≌△MPR，
∴OP=MP，OQ=MR，
∴点R（$\frac{8}{k}$，4）．
∵点R在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴4=$\frac{k}{\frac{8}{k}}$，解得：k=4$\sqrt{2}$或k=-4$\sqrt{2}$（舍去）．
经检验，k=4$\sqrt{2}$是方程4=$\frac{k}{\frac{8}{k}}$的解．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定、全等三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据全等三角形的性质找出点R的坐标是解题的关键．