Question

18．如图：二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将M（1，-4）代入二次函数中即可求出m与k的值，然后令y=0即可求出x的值．
（2）根据新的图象，分别求有一个公共点和三个公共点时b的值，写出有两个公共点时的取值范围．

解答 解：（1）∵顶点M（1，-4），
∴m=-1，k=-4，
∴二次函数的解析式为：y=（x-1）²-4，
当y=0时，y=（x-1）²-4=0，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）如图所示，
当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b（b＜1）与此图象有一个公共点，
把B（3，0）代入得：3+b=0，
b=-3，
当直线y=x+b过点A时，直线y=x+b（b＜1）与此图象有三个公共点，
把A（-1，0）代入得：-1+b=0，
b=1，
∴当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围是-3＜b＜1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的待定系数法与二次函数的综合题，解题的关键是观察、分析、正确的画出二次函数图象，然后数形结合解决问题．