Question

14．若（4x+y）²+3（4x+y）-4=0，则4x+y的值为1或-4．
变式1：（a²+b²）²-（a²+b²）-6=0，则a²+b²=3．
变式2：若（x+y）（2-x-y）+3=0，则x+y的值为-1或3．
变式3：若x²+xy+y=14，y²+xy+x=28，则x+y的值为6或-7．

Answer 1

分析 令4x+y=a，得a²+3a-4=0，解之即可得；令a²+b²=x，得x²-x-6=0，解之后根据a²+b²≥0可得；令x+y=m，得m²-2m-3=0，解之即可；两式相加后可得（x+y）²+（x+y）-42=0，令x+y=a，得a²+a-42=0，解之即可．

解答 解：令4x+y=a，则a²+3a-4=0，
解得：a=1或a=-4，
故答案为：1或-4；

令a²+b²=x，则x²-x-6=0，
解得：x=-2或x=3，
∵a²+b²≥0，
∴a²+b²=3，
故答案为：3；

令x+y=m，则m（2-m）+3=0，
即m²-2m-3=0，
解得：m-1或m=3，
故答案为：-1或3；

x²+xy+y=14 ①，
y²+xy+x=28 ②，
①+②，得：（x+y）²+（x+y）-42=0
令x+y=a，则a²+a-42=0，
解得：a=6或a=-7，
故答案为：6或-7．

点评 本题主要考查换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．