Question

4．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE交AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．
（1）求证：DC为⊙O切线；
（2）若DC=1，AC=$\sqrt{5}$，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质证明OC∥AD，得到∠OCP=∠D=90°，根据切线的判定定理证明；
（2）连接BC，根据勾股定理求出AD，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 （1）证明：连接OC，
∵AC是∠EAB的平分线，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴DC为⊙O切线；
（2）解：连接BC，
∵∠D=90°，DC=1，AC=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2，
∵∠OAC=∠OCA，∠ACB=∠D，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即AC²=AD•AB，
则AB=$\frac{A{C}^{2}}{AD}$=$\frac{5}{2}$，
∴⊙O的半径长为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．