Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=-

3

4

x+3与坐标轴分别交于A、B两点，直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=1上一动点．
（1）直接写出A、B的坐标；A

 

，B

 

；
（2）是否存在点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在点P使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据自变量与函数值相应的关系，由自变量的值，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得PO=PM，根据两点之间线段最短，可得AP+PO=AP+PM=AM，再根据三角形的周长，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得两边分别相等，分类讨论：①AP=BP，②当AP=AB=5，③当BP=AB=5，根据两点间的距离，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）当x=0时，y=3．即A 点坐标是（0，3），
当y=0时，-

3

4

x+3=0，解得x=4，即B点坐标是（4，0）；
（2）存在这样的P，使得△AOP周长最小
作点O关于直线x=1的对称点M，
M点坐标（2，0）连接AM交直线x=1于点P，
由勾股定理，得AM=

OA2+OM2

=

32+22

=

13

由对称性可知OP=MP，C_△AOP=AO+OP+AP=AO+MP+AP=AO+AM=3+

22+32

=

13

+3；
（3）设P点坐标为（1，a），
①当AP=BP时，两边平方得，AP²=BP²，1²+（a-3）²=（1-4）²+a²．
化简，得6a=1．
解得a=

1

6

．即P₁（1，

1

6

）；
②当AP=AB=5时，两边平方得，AP²=AB²，1²+（a-3）²=5²．
化简，得a²-6a-15=0．
解得a=3±2

6

，即P₂（1，3+2

6

），P₃（1，3-2

6

）；
③当BP=AB=5时，两边平方得，BP²=AB²，即（1-4）²+a²=5²．
化简，得a²=16．
解得a=±4，即P₄（1，4），P₅（1，-4）．
综上所述：P₁（1，

1

6

）；P₂（1，3+2

6

），P₃（1，3-2

6

）；P₄（1，4），P₅（1，-4）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，（1）利用了自变量与函数值的相应关系，可得点的坐标，（2）利用了线段垂直平分线的性质，线段的性质，（3）利用了等腰三角形的定义，解方程，分类讨论是解题关键．