Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD，交CA的延长线于点F，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：PD∥AB；
（2）求证：DE=BF；
（3）若AC=6，tan∠CAB=

4

3

，求线段PC的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连结OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；
（2）利用角的关系得出∠FBD=∠EDA，进而得出△FBD≌△EDA，即可得出DE=BF；
（3）在Rt△ACB中，利用AC=6，tan∠CAB=

4

3

，可得BC=8，再利用勾股定理得出AB=10，由△DAB为等腰直角三角形，可得AD=5

2

，由AE⊥CD，得出△ACE为等腰直角三角形，得出AE=CE=3

2

，在Rt△AED中，可得DE=4

2

，得出CD=7

2

，由角的关系得出△PDA∽△PCD，利用比例式可得出PA=

5

7

PD，PC=

7

5

PD，由PC=PA+AC，可求得PD=

35

4

，即可得出 PC的值．

解答：证明：（1）连结OD，如图，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠ABD=45°，
∴△DAB为等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∴DP∥AB；
（2）∵AE⊥CD于点E，BF⊥CD，
∴AE∥BF，
∴∠FBO=∠EAO，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴∠FBD+∠EAD=90°，
∵∠EDA+∠∠EAD=90°，
∴∠FBD=∠EDA
在△FBD和△EDA中，

∠BFD=∠DEA ∠FBD=∠EDA BD=DA

，
∴△FBD≌△EDA（AAS）
∴DE=BF．
（3）在Rt△ACB中，
∵AC=6，tan∠CAB=

4

3

，
∴BC=6×

4

3

=8，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD=

AB

2

=5

2

，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE=

AC

2

=

6

2

=3

2

，
在Rt△AED中，DE=

AD2-AE2

=4

2

，
∴CD=CE+DE=3

2

+4

2

=7

2

，
∵AB∥PD，
∴∠PDA=∠DAB=45°，
∴∠PDA=∠PCD，
又∵∠DPA=∠CPD，
∴△PDA∽△PCD，
∴

PD

PC

=

PA

PD

=

AD

CD

=

5 2

7 2

，
∴PA=

5

7

PD，PC=

7

5

PD，
又∵PC=PA+AC，
∴

5

7

PD+6=

7

5

PD，解得PD=

35

4

，
∴PC=

5

7

PD+6=

5

7

×

35

4

+6=

25

4

+6=

49

4

．

点评：本题主要考查了圆的综合题，切线的性质，三角形全等及相似的知识，解题的关键是利用相似三角形得出边的关系，再列出算式求解．