Question

13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（5，0），现同时将点A，B分别向左平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到A，B的对应点D，C，连接AD，BC，CD．
（1）请用含m的式子表示三角形DAB的面积；
（2）在（1）条件下，当m=2时，在x轴上存在点F，使得三角形DFA的面积是三角形DAB面积的$\frac{1}{2}$，请求出点F的坐标；
（3）在（2）结论下，连接FC，FD，请直接写出∠DFC与∠BCF，∠ADF的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据A（1，0），B（5，0），可得AO=1，AB=4，根据当点A向左平移1个单位长度时与O重合，再向上平移m个单位长度得到D，可得OD=m，进而得出S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×OD=2m；
（2）设F（n，0），则由A（1，0），可得AF=|n-1|，进而得到S_△ADF=$\frac{1}{2}$AF×OD=|n-1|，再根据三角形DFA的面积是三角形DAB面积的$\frac{1}{2}$，可得方程|n-1|=$\frac{1}{2}$×4，求得n=3或-1，进而得出点F的坐标；
（3）分两种情况：①当点F的坐标为（3，0）时，连接FC，FD，过F作FG∥AD，②当点F的坐标为（-1，0）时，连接FC，FD，过F作FG∥AD，分别根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算求解．

解答 解：（1）由平移得，AD∥BC，AD=BC，
∵A（1，0），B（5，0），
∴AO=1，AB=4，
∴当点A向左平移1个单位长度时与O重合，再向上平移m个单位长度得到D，即OD=m，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×OD=$\frac{1}{2}$×4×m=2m；


（2）当m=2时，S_△ABD=2m=4，
设F（n，0），则由A（1，0），可得AF=|n-1|，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$AF×OD=$\frac{1}{2}$|n-1|×2=|n-1|，
又∵三角形DFA的面积是三角形DAB面积的$\frac{1}{2}$，
∴|n-1|=$\frac{1}{2}$×4，
解得n=3或-1，
∴点F的坐标为（-1，0）或（3，0）；

（3）∠DFC=∠ADF+∠BCF或∠DFC=∠BCF-∠ADF．
分两种情况：
①如图所示，当点F的坐标为（3，0）时，连接FC，FD，过F作FG∥AD，

∵AD∥BC，
∴FG∥BC，
∴∠ADF=∠GFD，∠BCF=∠GFC，
∴∠DFC=∠GFD+∠GFC=∠ADF+∠BCF；
②如图所示，当点F的坐标为（-1，0）时，连接FC，FD，过F作FG∥AD，

∵AD∥BC，
∴FG∥BC，
∴∠ADF=∠GFD，∠BCF=∠GFC，
∴∠DFC=∠GFC-∠GFD=∠BCF-∠ADF．

点评 本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及三角形面积公式的运用，解题时注意根据点F的不同位置，进行分类讨论．解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用平行线的性质进行计算．