Question

18．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，将△ABC绕点灯A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则点C′到BC的距离为$\frac{1}{2}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接BB′，过C'作C'D⊥BC于D，作C'E⊥AC于E，先判定△ABB′是等边三角形，△AB′C′是等腰直角三角形，进而得到∠C'AE=60°，∠AC'E=30°，再根据AE的长即可得到CE，据此可得点C′到BC的距离．

解答 解：如图，连接BB′，过C'作C'D⊥BC于D，作C'E⊥AC于E，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB'=60°，
∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△AB′C′是等腰直角三角形，
∴∠B'AC'=45°，
∴∠BAC'=60°-45°=15°，
∴∠C'AE=60°，∠AC'E=30°，
由旋转可得，AC'=AC=$\sqrt{2}$，
∴Rt△AC'E中，AE=$\frac{1}{2}$AC'=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，
∴CE=AC-AE=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，
又∵∠C=∠CDC'=∠CEC'=90°，
∴矩形DCEC'中，C'D=EC=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及含30°角的直角三角形．