Question

5．如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，⊙O上有定点C和动点P，它们位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，若tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，则线段CQ长度的最大值为（　　）

• A． 10
• B． $\frac{15}{2}$
• C． $\frac{40}{3}$
• D． $\frac{20}{3}$

Answer 1

分析 由AB为直径和PC⊥CQ可得出∠PCQ=90°=∠ACB，又由∠P与∠A为同弦所对的圆周角，可得出∠P=∠A，从而得出△ACB∽△PCQ，即得出CQ=$\frac{CB}{AC}$•CP，由tan∠ABC的值可得出CQ=$\frac{4}{3}$CP，当CP最大时，CQ也最大，而CP为圆内一弦，故CP最大为直径，由此得出CQ的最大值．

解答 解：∵线段AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CQ⊥PC，
∴∠PCQ=90°=∠ACB，
又∵∠P=∠A（同弦圆周角相等），
∴△ACB∽△PCQ，
∴$\frac{CQ}{CB}$=$\frac{CP}{AC}$．
在Rt△ACB中，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，
∴CQ=$\frac{CB}{AC}$•CP=$\frac{4}{3}$CP．
∵线段CP是⊙O内一弦，
∴当CP过圆心O时，CP最大，且此时CP=10．
∴CQ=$\frac{4}{3}$×10=$\frac{40}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定及性质．解题的关键是得出CQ=$\frac{4}{3}$CP．本题属于中档题，难度不大，在解决该题中巧妙的运用了三角形相似得出比例关系，化求CQ的最值为求CP的最值．