Question

10．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE=DF．
（1）证明：EF平分线段BC；
（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=CD，利用等式的性质得到AC=BD，再由AE=DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=CG，即可得证；
（2）（1）中的结论成立，理由为：由AC=DB，利用等式的性质得到AC=BD，再由AE=DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=CG，即可得证．

解答 （1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AC=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），
∴CE=FB，
在△CEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECG=∠FBG=90°}\\{∠EGC=∠BGF}\\{EC=FB}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△BFG（AAS），
∴CG=BG，即EF平分线段BC；
（2）（1）中结论成立，理由为：
证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB-BC=CD-BC，即AC=DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AC=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），
∴CE=FB，
在△CEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECG=∠FBG=90°}\\{∠EGC=∠BGF}\\{EC=FB}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△BFG（AAS），
∴CG=BG，即EF平分线段BC．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．