如图.在平面直角坐标系中.点A在x轴的负半轴上.点B在x轴的正半轴上．C在y轴的负半轴上.AC所在直线为y=kx-12．AC⊥BC．BC的长的$\frac{1}{3}$倍是方程x2-3x-10=0的根．(1)求点A.B的坐标,(2)若直线L经过点C且平分△AOC的面积.求直线L的解析式,的条件下设直线L交x轴于点D.在y轴上是否存在点P:使以点A.D.P.C为顶点的四边形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上．C在y轴的负半轴上，AC所在直线为y=kx-12．AC⊥BC．BC的长的$\frac{1}{3}$倍是方程x²-3x-10=0的根．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若直线L经过点C且平分△AOC的面积，求直线L的解析式；
（3）在（2）的条件下设直线L交x轴于点D，在y轴上是否存在点P：使以点A，D，P，C为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）首先解方程求得方程的解，则BC的长度即可求得，然后证明△AOC∽△COB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OA的长，则A的坐标即可求得；
（2）直线L经过点C且平分△AOC的面积，则直线一定经过OA的中点，利用待定系数法即可求解；
（3）分成四边形ACPD是梯形和四边形APCD是梯形两种情况进行讨论，当四边形ACPD是梯形时，首先求得AC的解析式，根据AC∥PD即可求得PD的解析式，则P的坐标即可求得，同理求得四边形APCD是梯形时P的坐标．

解答解：（1）解方程x²-3x-10=0得x₁=5，x₂=-2，
则BC=3×5=15，
在y=kx-12中，令x=0，解得y=-12，则C的坐标是（0，-12），OC=12．
在直角△BOC中，OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，则B的坐标是（0，9）．
∵∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
又∵直角△AOC中，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO，
又∵∠AOC=∠BOC，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，
∴$\frac{OA}{12}$=$\frac{12}{9}$，
解得：OA=16，
则A的坐标是（-16，0）；
（2）OA的中点D是（-8，0），
设直线L的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
则直线L的解析式是y=-$\frac{3}{2}$x-12；
（3）当四边形ACPD是梯形时，如图1．
设AC的解析式是y=mx+n，根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{-16m+n=0}\\{n=-12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=-12}\end{array}\right.$，
则直线AC的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x-12，
设DP的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+c，则6+c=0，
解得：c=-6．
则DP的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x-6，
令x=0，解得y=-6，则P的坐标是（0，-6）；
当四边形APCD是梯形时，如图2，
同理，CD的解析式是y=-$\frac{3}{2}$x-12，
AP的解析式是y=-$\frac{3}{2}$x-24，则P的坐标是（0，-24）．
故P的坐标是（0，-6）或（0，-24）．