Question

11．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=$\frac{1}{2}$，点P在AB边上，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．
（1）求⊙P的半径；
（2）当AP=$6\sqrt{5}$时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）作BD⊥AC，垂足为点D．则BD就是⊙P的半径．根据勾股定理即可得出BD，即⊙P的半径；
（2）当AP=6$\sqrt{5}$时，可求出AM、CN．可证出△AMP∽△PNC．

解答 解：（1）作BD⊥AC，垂足为点D．
∵⊙P与边AC相切，
∴BD就是⊙P的半径，
设BD=x，则AD=2x，
由勾股定理得：x²+（2x）²=15²，
解得：$x=3\sqrt{5}$，
∴半径为$3\sqrt{5}$；

（2）相似；
过点P作PH⊥AC于点H，
∵tanA=$\frac{PH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，AP=$6\sqrt{5}$，
∴AH=2PH，
∴AH²+PH²=AP²，
即（2PH）²+PH²=（6$\sqrt{5}$）²，
∴PH=6，AH=12，
∵PM=3$\sqrt{5}$，
∴MH=3，
∴AM=9，
∴CN=5，
∴$\frac{AM}{MP}=\frac{PN}{NC}=\frac{3}{{\sqrt{5}}}$，
又∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∴∠AMP=∠PNC，
∴△AMP∽△PNC．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．