Question

3．△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120cm，高AD=80cm，要把它加工成矩形零件EFGH，使矩形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F在AB，AC上，
（1）求证：EF：BC=AM：AD；
（2）设EF=x，EG=y，用含x的代数式表示y；
（3）设矩形EFGH的面积是S，求当x为何值时S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，进而得出EF：BC=AM：AD；
（2）设EF=x，EG=y，利用相似三角形的性质用x表示出y即可；
（3）根据矩形面积公式求出S与x之间的解析式，运用公式求抛物线顶点的横坐标即可．

解答 （1）证明：∵四边形EFHG是矩形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；

（2）解：设EF=x，EG=y，
故$\frac{80-y}{80}$=$\frac{x}{120}$，
解得：y=-$\frac{2}{3}$x+80．

（3）S_矩形EFHG=EG•EF=（-$\frac{2}{3}$x+80）•x．
即S=-$\frac{2}{3}$x²+80x．
∴当x=-$\frac{b}{2a}$=60时，矩形EGHF的面积最大．

点评 本题主要考查了相似三角形的应用、矩形EGHF的面积的表达，把问题转化为二次函数，利用二次函数的性质是解决问题关键．