Question

19．如图，直线y=x-1与反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，
（1）求点A，B的坐标；
（2）若点P是反比例函数图象上一点，若△ABP的面积为3，请直接写出点P的坐标为（2，1），（-1，-2），（$\frac{7+\sqrt{57}}{2}$，$\frac{\sqrt{57}-7}{2}$），（$\frac{7-\sqrt{57}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{57}}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）解方程即可得到结果；
（2）设P（m，$\frac{2}{m}$），得到直线AB的解析式为y=x-1，根据三角形的面积为3，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）x-1=$\frac{2}{x}$，
整理得：x²-x-2=0，
解得：x₁=2，x₂=-1，
∴y₁=1，y₂=-2，
∴A（-1，-2），B（2，1），

（2）设P（m，$\frac{2}{m}$），
直线AB的解析式为y=x-1，
点P到AB的距离=$\frac{|m-\frac{2}{m}-1|}{\sqrt{2}}$，
∵AB=$\sqrt{（2+1）^{2}+（1+2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴△ABP的面积为3，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{|m-\frac{2}{m}-1|}{\sqrt{2}}$=3，
解得：m=2，-1，$\frac{7+\sqrt{57}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{57}}{2}$，
∴P（2，1），（-1，-2），（$\frac{7+\sqrt{57}}{2}$，$\frac{\sqrt{57}-7}{2}$），（$\frac{7-\sqrt{57}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{57}}{2}$），
故答案为：（2，1），（-1，-2），（$\frac{7+\sqrt{57}}{2}$，$\frac{\sqrt{57}-7}{2}$），（$\frac{7-\sqrt{57}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{57}}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求函数的解析式，点的坐标，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，熟记两点间的距离公式，点到直线的距离公式是解题的关键．