Question

8．操作：如图1，直线a、b相较于点O，请你利用尺规作图的方法在图中构造一对以O为公共顶点、且两边分别在直线a、b上的全等三角形．

应用：如图2，在等腰△ABC中，AB=AC，点E在线段AC上，点D在边AB的延长线上，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
拓展：如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，点E在线段AC上，点D在边AB的延长线上，若BD=mCE（m＞1），请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 操作：根据边角边定理作图即可；
应用：证明△DBM≌△EFM，根据全等三角形的性质定理得到答案；
拓展：过点E作EF∥AB交CB于点G，证明△DBM∽△EGM，得到答案．

解答 解：在直线a上点O的两侧取OA=OB，
在直线b上点O的两侧取OC=OD，连接AC、BD，
则△AOC≌△BOD；
应用：MD=ME；
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
又∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠C，∴EF=EC，
又∵BD=EC，∴EF=BD，
又∵EF∥AB，∴∠ADM=∠MEF，
在△DBM和△EFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠FEM}\\{∠BMD=∠FME}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△EFM，
∴DM=EM；
拓展：MD=mME，
过点E作EF∥AB交CB于点G，
可证△DBM∽△EGM，
∴BD：EG=DM：EM=m
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
又∵EG∥AB，∴∠ABC=∠EGC，
∴∠EGC=∠C，∴EG=EC，
∴BD：EG=DM：EM=BD：EC=m，
∴MD=mME．

点评 本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键．