Question

17．已知abc=1，a+b+c=2，a²+b²+c²=3，则$\frac{1}{ab+c-1}+\frac{1}{bc+a-1}+\frac{1}{ca+b-1}$的值是$-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 观察所给算式可得c-1=1-a-b，a-1=1-b-c，b-1=1-a-c，先对算式进行通分．

解答 解：由a+b+c=2得：c-1=1-a-b，a-1=1-b-c，b-1=1-a-c
则$\frac{1}{ab+c-1}+\frac{1}{bc+a-1}+\frac{1}{ca+b-1}$
=$\frac{1}{ab-a+1-b}+\frac{1}{bc-b+1-c}+\frac{1}{ca-c+1-a}$
=$\frac{1}{（a-1）（b-1）}+\frac{1}{（b-1）（c-1）}+\frac{1}{（c-1）（a-1）}$
=$\frac{a+b+c-3}{（a-1）（b-1）（c-1）}$
=$\frac{-1}{（abc-1）+（a+b+c）-（ac+bc+ab）}$
a+b+c=2，则（a+b+c）²=4，即a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）=4，则（ac+bc+ab）=$\frac{1}{2}$
故原式=$\frac{-1}{（1-1）+2-\frac{1}{2}}$=$-\frac{2}{3}$
故答案为：-$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查的是求分式的值，对算式进行通分简化是解题的关键，体现了转化思想，化繁为简．