Question

10．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）直接利用相似三角形的判定与性质得出对应边的关系进而得出答案．

解答 解：（1）把A（1，0），B（2，0），C（0，-2）分别代入解析式可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
故二次函数的解析式为：y=-x²+3x-2；

（2）当△EDB与△AOC相似时时，有$\frac{AO}{ED}$=$\frac{CO}{BD}$或$\frac{AO}{BD}$=$\frac{CO}{ED}$，
其中AO=1，CO=2，BD=m-2．
①当$\frac{AO}{ED}$=$\frac{CO}{BD}$时，得$\frac{1}{ED}$=$\frac{2}{m-2}$，
解得：ED=$\frac{m-2}{2}$，
∵点E在第四象限，∴E₁（m，$\frac{2-m}{2}$）．
②当$\frac{AO}{BD}$=$\frac{CO}{ED}$时，得$\frac{1}{2-m}$=$\frac{2}{ED}$，
则∴ED=2m-4．
∵点E在第四象限，∴E₂（m，4-2m）．
故E₁（m，$\frac{2-m}{2}$），E₂（m，4-2m）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质，正确分类讨论是解题关键．