Question

2．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S₁，Rt△BFC的面积为S₂，Rt△DCE的面积为S₃，则S₁=S₂+S₃（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出图中的三对相似（不全等）三角形；
（3）求证：BC²=CF•DB（尽可能用数字表示角）

Answer 1

分析 （1）根据S₁=$\frac{1}{2}$S_矩形BDEF，S₂+S₃=$\frac{1}{2}$S_矩形BDEF，即可得出答案．
（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC；
（3）由四边形BDEF是矩形，得到∠CBF+∠DBC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，于是得到∠BCF=∠CBD，证得△BCD∽△BCF，得到比例式，即可得到结论．

解答 解：（1）∵S₁=$\frac{1}{2}$BD×ED，S_矩形BDEF=BD×ED，
∴S₁=$\frac{1}{2}$S_矩形BDEF，
∴S₂+S₃=$\frac{1}{2}$S_矩形BDEF，
∴S₁=S₂+S₃；
故答案为：=．

（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC；

（3）∵四边形BDEF是矩形，
∴∠CBF+∠DBC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠BCF=∠CBD，
又∵∠BCD=∠F=90°，
∴△BCD∽△BCF，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{CF}{BC}$，
∴BC²=CF•DB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．