Question

12．将边长为10正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．
（1）求证：AM=EF；
（2）当DM=6时，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得出∠AEF=∠MEF，EF⊥AM，AE=ME，得出∠EAM=∠EMA，由正方形的性质得出AB=AD=5，∠BAD=∠D=90°，证出∠MAB=∠AEF，作MG⊥AB于G，作FH⊥AD于H，得出MG=FH，由AAS证明△AMG≌△EFH，得出对应边相等即可；
（2）根据勾股定理求出AM，即可得出EF的长．

解答 （1）证明：如图：

由折叠的性质得：∠AEF=∠MEF，EF⊥AM，AE=ME，
∴∠EAM=∠EMA，∠EMA+∠MEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=5，∠BAD=∠D=90°，
∴∠EAM+∠MAB=90°，
∴∠MAB=∠AEF，
作MG⊥AB于G，作FH⊥AD于H，
则MG=AD，FH=AB，
∴MG=FH，
在△AMG和△EFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAB=∠AEF}\\{∠AGM=∠EHF}\\{MG=HF}\end{array}\right.$，
∴△AMG≌△EFH（AAS），
∴AM=EF；
（2）解：在Rt△ADM中，根据勾股定理得：
AM=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
则EF=AM=2$\sqrt{34}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．