Question

10．已知如图：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD=AC，点P是CD上任意一点，PQ⊥AB于Q，PR⊥AC于R，求证：PQ+PR=$\frac{1}{2}$AB．

Answer 1

分析 作DE⊥AC于E，连接PA，则∠AED=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠BAD=45°，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，证出△ADE是等腰直角三角形，得出DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，由△ACD的面积=△APD的面积+△APC的面积，得出PQ+PR=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB即可．

解答 解：作DE⊥AC于E，连接PA，如图所示：
则∠AED=90°，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAD=45°，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，
∵AD=AC，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∵△ACD的面积=△APD的面积+△APC的面积，
∴$\frac{1}{2}$AC•DE=$\frac{1}{2}$AD•PQ+$\frac{1}{2}$AC•PR=$\frac{1}{2}$AC（PQ+PR），
∴PQ+PR=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AB．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积的计算方法；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．