Question

17．如图所示，△ABC中，∠ABC=90°，点O是AB的中点，以AB为直径作圆与AC交于点D，作∠BDE=∠A，DE与BC交于点E．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）求证：△BCD∽△ACB；
（3）若DE=mBC，写出m的值．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，利用圆周角相等得∠ADB=90°，则∠A+∠ABD=90°，而∠BDE=∠A，∠OBD=∠ODB，所以∠BDE+∠ODB=90°，于是根据切线的判定定理得DE是圆O的切线；
（2）根据两个角对应相等的两个三角形相似进行判断；
（3）利用等角的余角相等得到∠BDE=∠CBD，∠C=∠CDE，则DE=BE，DE=CE，即DE=$\frac{1}{2}$BC，所以m=$\frac{1}{2}$．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠BDE=∠A，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠BDE+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是圆O的切线；
（2）证明：∵∠BCD=∠ACB，∠BDC=∠ABC，
∴△BCD∽△ACB；
（3）解：∵∠CBD+∠ABD=90°，∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠CBD，
而∠BDE=∠A，
∴∠BDE=∠CBD，
∴DE=BE，
∵∠C+∠A=90°，∠CDE+∠BDE=90°，
∴∠C=∠CDE，
∴DE=CE，
即DE=CE=BE，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴m=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．