Question

8．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB的顶点A、B的坐标分别是A（0，5），B（3，1），过点B画BC⊥AB交直线y=-m（m＞$\frac{5}{4}$）于点C，连结AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交x轴负半轴于点D，连结AD、CD．
（1）求证：△ABC≌△AOD；
（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式；
（3）若四边形ABCD恰有一组对边平行，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用两点间的距离公式计算出AB=5，则AB=OA，则可根据“HL”证明△ABC≌△AOD；
（2）过点B作直线BE⊥直线y=-m于E，作AF⊥BE于F，如图，证明Rt△ABF∽Rt△BCE，利用相似比可得BC=$\frac{5}{3}$（m+1），再在Rt△ACB中，由勾股定理得AC²=AB²+BC²=25+$\frac{25}{9}$（m+1）²，然后证明△AOB∽△ACD，利用相似的性质得$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ACD}}$=（$\frac{AB}{AC}$）²，而S_△AOB=$\frac{15}{2}$，于是可得S=$\frac{5}{6}$（m+1）²+$\frac{15}{2}$（m＞$\frac{5}{4}$）；
（3）作BH⊥y轴于H，如图，分类讨论：当AB∥CD时，则∠ACD=∠CAB，由△AOB∽△ACD得∠ACD=∠AOB，所以∠CAB=∠AOB，利用三角函数得到tan∠AOB=3，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{m+1}$，所以$\frac{3}{m+1}$=3；当AD∥BC，则∠5=∠ACB，由△AOB∽△ACD得到∠4=∠5，则∠ACB=∠4，根据三角函数定义得到tan∠4=$\frac{3}{4}$，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{m+1}$，则$\frac{3}{m+1}$=$\frac{3}{4}$，然后分别解关于m的方程即可得到m的值．

解答 （1）证明：∵A（0，5），B（3，1），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+（5-1）^{2}}$=5，
∴AB=OA，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC和Rt△AOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AO}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△AOD；
（2）解：过点B作直线BE⊥直线y=-m于E，作AF⊥BE于F，如图，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴Rt△ABF∽Rt△BCE，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AF}{BE}$，即$\frac{5}{BC}$=$\frac{3}{m+1}$，
∴BC=$\frac{5}{3}$（m+1），
在Rt△ACB中，AC²=AB²+BC²=25+$\frac{25}{9}$（m+1）²，
∵△ABC≌△AOD，
∴∠BAC=∠OAD，即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5，
∴∠4=∠5，
而AO=AB，AD=AC，
∴△AOB∽△ACD，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ACD}}$=（$\frac{AB}{AC}$）²=$\frac{25}{25+\frac{25}{9}（m+1）^{2}}$，
而S_△AOB=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$，
∴S=$\frac{5}{6}$（m+1）²+$\frac{15}{2}$（m＞$\frac{5}{4}$）；
（3）作BH⊥y轴于H，如图，
当AB∥CD时，则∠ACD=∠CAB，
而△AOB∽△ACD，
∴∠ACD=∠AOB，
∴∠CAB=∠AOB，
而tan∠AOB=$\frac{BH}{OH}$=3，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{5}{\frac{5}{3}（m+1）}$=$\frac{3}{m+1}$
∴$\frac{3}{m+1}$=3，解得m=8；
当AD∥BC，则∠5=∠ACB，
而△AOB∽△ACD，
∴∠4=∠5，
∴∠ACB=∠4，
而tan∠4=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{3}{4}$，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{m+1}$
∴$\frac{3}{m+1}$=$\frac{3}{4}$，
解得m=3．
综上所述，m的值为3或8．

点评 本题考查了相似形的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；合理添加辅助线构造相似图形，然后利用相似的性质计算相应线段的长；同时会利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．