Question

20．如图，等腰直角三角形ABC中，AB=4cm．点D是BC边上的动点，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE．在点D从点B移动至点C的过程中，点E移动的路线长为4$\sqrt{2}$cm．

Answer 1

分析 连接CE，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AC=$\sqrt{2}$AB，AE=$\sqrt{2}$AD，∠BAC=45°，∠DAE=45°，则可判断△ACE∽△ABD，所以∠ACE=∠ABC=90°，于是可判断点D从点B移动至点C的过程中，总有CE⊥AC，当点D运动到点C时，CE=AC=4$\sqrt{2}$，从而得到点E移动的路线长为4$\sqrt{2}$cm．

解答 解：连接CE，如图
∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AB，AE=$\sqrt{2}$AD，∠BAC=45°，∠DAE=45°，
即∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠3，
∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴△ACE∽△ABD，
∴∠ACE=∠ABC=90°，
∴点D从点B移动至点C的过程中，总有CE⊥AC，
即点E运动的轨迹为过点C与AC垂直的线段，
AB=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
当点D运动到点C时，CE=AC=4$\sqrt{2}$，
∴点E移动的路线长为4$\sqrt{2}$cm．
故答案为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形称为这个点运动的轨迹．解决此类问题的关键是确定不变的因素得到轨迹．