Question

17．阅读材料：若m²-2mn+2n²-8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m²-2mn+2n²-8n+16=0，∴（m²-2mn+n²）+（n²-8n+16）=0，
∴（m-n）²+（n-4）²=0，又∵（m-n）²≥0，（n-4）²≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（m-n）^{2}=0}\\{（n-4）^{2}=0}\end{array}\right.$，∴n=4，m=4．
请解答下面的问题：
（1）已知x²-2xy+2y²+6y+9=0，求xy-x²的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是互不相等的正整数，且满足a²+b²-4a-18b+85=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a²+b²=12，ab+c²-16c+70=0，求a+b+c的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．

解答 解：（1）∵x²-2xy+2y²+6y+9=0，
∴（x-y）²+（y+3）²=0，
解得：y=-3，故x=y=-3，
xy-x²=-3×（-3）-（-3）²=9-9=0；

（2）∵a²+b²-4a-18b+85=0，
∴（a-2）²+（b-9）²=0，
解得：a=2，b=9，
∴7＜c＜11，
∵△ABC的三边长a、b、c都是互不相等的正整数，
∴△ABC的最大边c的值为：10；

（3）∵a²+b²=12，
∴（a+b）²-2ab=12，
∴ab=$\frac{1}{2}$（a+b）²-6，
∴ab+c²-16c+70=0，
$\frac{1}{2}$（a+b）²-6+（c-8）²+6=0，
则$\frac{1}{2}$（a+b）²+（c-8）²=0，
则c=8，a+b=0，
∴a+b+c=8．

点评 此题主要考查了配方法的应用以及偶次方的性质，正确分组配方是解题关键．