Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD．在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE＝90°，以AD和DE为邻边作ADEF，连接CD，DF．

（1）若AC＝BC，BD＝DE．

①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为　 ．

②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（2）若BC＝2AC，BD＝2DE，，且E，C，F三点共线，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①DF＝CD,②结论仍然成立．理由见解析；（2）.

【解析】

（1）①证明△BCD≌△ACF（SAS），即可推出△DCF是等腰直角三角形解决问题；

②结论仍然成立．如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．证明方法类似①；

（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．证明△CBD∽△CAF，推出，∠BCD=∠ACF，推出∠BCA=∠DCF=90°，证明∠ADC=90°，由CD：AC=4：5，设CD=4k，AC=5k，则AD=EF=3k，求出AF，CE（用k表示）即可解决问题．

（1）①如图1中，连接CF．设AC交BF于G．

∵四边形AFED是平行四边形，

∴AF＝DE，DE∥AF，

∵BD＝DE，

∴AF＝BD，

∵∠BDE＝90°，

∴∠EDF＝∠DFA＝90°＝∠BCG，

∵∠CGB＝∠AGF，

∴∠CBD＝∠CAF，

∵BC＝AC，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，

∴∠BCA＝∠DCF＝90°，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴DF＝CD．

故答案为DF＝CD．

②结论仍然成立．

理由：如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．

∵四边形AFED是平行四边形，

∴AF＝DE，DE∥AF，

∵BD＝DE，

∴AF＝BD，

∵∠BDE＝90°，

∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，

∵∠CGB＝∠AGH，

∴∠CBD＝∠CAF，

∵BC＝AC，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，

∴∠BCA＝∠DCF＝90°，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴DF＝CD．

（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．

∵四边形AFED是平行四边形，

∴AF＝DE，DE∥AF，

∵∠BDE＝90°，

∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，

∵∠CGB＝∠AGH，

∴∠CBD＝∠CAF，

∵，

∴，

∴△CBD∽△CAF，

∴，∠BCD＝∠ACF，

∴∠BCA＝∠DCF＝90°，

∵AD∥EF，

∴∠ADC+∠DCF＝180°，

∴∠ADC＝90°，

∵CD：AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，

∴CF＝CD＝2k，

∴EC＝EF﹣CF＝k，

∴DE＝AF＝，

∴．