Question

10．已知抛物线如图所示．
（1）求抛物线的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意设出抛物线的交点式，代入与y轴的一个交点（0，-2），可确定解析式．
（2）根据B、M两点的坐标可以求得直线BM的解析式y=3x-6；由该解析式可以求得NQ=6-3t；根据图形可知S_{四边形NQAC}=S_梯形QNCO+S_△AOC．

解答 解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x+1）（x-2），
将点（0，-2）代入，得：-2=-2a，
解得：a=1，
故抛物线解析式为：y=（x+1）（x-2）．
因为y=（x+1）（x-2）=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
所以抛物线顶点M的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）．
（2）根据B（2，0）、M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
易知直线BM的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-3；
∵当x=t时，y=$\frac{3}{2}$t-3；
∴NQ=3-$\frac{3}{2}$t；
∴S_{四边形NQAC}=S_梯形QNCO+S_△AOC=$\frac{1}{2}$×（2+3-$\frac{3}{2}$t）×t+$\frac{1}{2}$×2×1，即S_{四边形PQAC}=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{5}{2}$t+1（$\frac{1}{2}$＜t＜2）．

点评 本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，直线的解析式，梯形的面积和三角形面积等，待定系数法是本题的关键．