Question

15．如图，一架梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，此时，梯子下端B与墙角C距离为1.5m，现梯子滑动后停在A′B′的位置上，测得BB′长为0.5m．
（1）求梯子顶端A下落了多少米？（即求AA′的长）
（2）设梯子的中心为O，试问在梯子滑动过程中，点O到墙角C的距离是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出OC的长；
（3）在梯子的滑动过程中，请求出△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC；在Rt△A′CB′中，得到A′C的长度，再求AA′的长即可．
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案；
（3）根据AC²+BC²=AB²≥2AC•BC可得AC•BC≤$\frac{25}{8}$，再由S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•CB可得答案．

解答 解：（1）∵AB=2.5m，BC=1.5m，
∴AC=$\sqrt{2．{5}^{2}-1．{5}^{2}}$=2（m），
∵BB′长为0.5m，
∴CB′=2m，
∴A′C=$\sqrt{2．{5}^{2}-{2}^{2}}$=1.5（m），
∴AA′=2-1.5=0.5（m）；

（2）点O到墙角C的距离不发生变化，
CO=$\frac{1}{2}$AB=1.25米；

（3）∵AC²+BC²=AB²≥2AC•BC，
∴2AC•BC≤2.5²，
∴AC•BC≤$\frac{25}{8}$，
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•CB≤$\frac{1}{2}×\frac{25}{8}$，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{25}{16}$．

点评 此题主要考查了勾股定理得应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．