Question

19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（0，-$\sqrt{3}$），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则$\frac{1}{2}$PB+PD的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有5个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．
（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时$\frac{1}{2}$PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．
（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．
②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=-\sqrt{3}}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
∴顶点坐标（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9\sqrt{3}}{8}$）．
（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时$\frac{1}{2}$PB+PD最小．
理由：∵OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°，
∴PH=$\frac{1}{2}$PB，
∴$\frac{1}{2}$PB+PD=PH+PD=DH，
∴此时$\frac{1}{2}$PB+PD最短（垂线段最短）．
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=$\frac{3}{2}$，∠HAD=60°，
∴sin60°=$\frac{DH}{AD}$，
∴DH=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$PB+PD的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，
以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，
故答案为5．
②如图，RT△AOB中，∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°，
作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，
以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．
则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，
∵EB=$\frac{\frac{AB}{2}}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OE=OB-EB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵F（$\frac{1}{2}$，t），EF²=EB²，
∴（$\frac{1}{2}$）²+（t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²，
解得t=$\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{39}}{6}$或$\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{39}}{6}$，
故F（$\frac{1}{2}$，$\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{39}}{6}$），G（$\frac{1}{2}$，$\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{39}}{6}$），
∴t的取值范围$\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{39}}{6}$≤t≤$\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{39}}{6}$

点评 本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．