Question

10．矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E为AD上一个动点，将△ABE沿折线BE折叠后得到△GBE，延长BG交矩形一边于F点，若点F恰好为该边的中点，则此时AE的长为$\frac{5\sqrt{34}-25}{3}$或$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 根据对折的性质，得出AE=EG，AB=BG，然后根据勾股定理求得BF，设AE=x，再表示出EG、ED和EF，然后利用勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求得．

解答 解：当F点在AD上时，如图1，
∵矩形ABCD中，AB=5，BC=6，
∴DC=AB=5，AD=BC=6，
∵点F恰好为该边的中点，
∴AF=FD=3，
∴BF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∵BG=AB=5，
∴GF=$\sqrt{34}$-5，
∵∠BGE=∠A=90°，
∴EG²+GF²=EF²，
设AE=x，则EF=3-x，
∵EG=AE=x，
∴x²+（$\sqrt{34}$-5）²=（3-x）²，
解得x=$\frac{5\sqrt{34}-25}{3}$，
当F点在CD上时，如图2，
∵矩形ABCD中，AB=5，BC=6，
∴DC=AB=5，AD=BC=6，
∵点F恰好为该边的中点，
∴DF=CF=2.5，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+2．{5}^{2}}$=$\frac{13}{2}$，
∵BG=AB=5，
∴GF=6.5-5=1.5，
∵∠BGE=∠A=90°，
∴EG²+GF²=ED²+DF²，
设AE=x，则ED=6-x，
∵EG=AE=x，
∴x²+1.5²=（6-x）²+2.5²，
解得x=$\frac{10}{3}$，
∴AE=$\frac{10}{3}$，
综上，AE的长为$\frac{5\sqrt{34}-25}{3}$或$\frac{10}{3}$，
故答案为$\frac{5\sqrt{34}-25}{3}$或$\frac{10}{3}$．

点评 此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理的应用．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．