题目内容
20．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为-1，直接写出点A的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE；
（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（-4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连结CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．
分析 （1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，构建全等三角形：△ACF≌△ABO（AAS），结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G，由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，从而得到结论；
（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E，构建全等三角形：△CBE≌△BAO（AAS），结合全等三角形的对应边相等推知：CE=BO，BE=AO=4．再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPE≌△DPB，故BP=EP=2．
解答 解：
（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，
∵CF⊥y轴于点F，
∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠BAO=90°，
∴∠ACF=∠BAO，
在△ACF和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BAO}\\{∠CFA=∠AOB=90°}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABO（AAS），
∴CF=OA=1，
∴A（0，1）；
（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，
∵CG⊥AC，
∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠AGC=∠ADO，
在△ACG和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠BAD=90°}\\{∠AGC=∠ADO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=CD，∠ADB=∠G，
∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，
在△DCE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CG}\\{∠DCE=∠GCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE=∠G，
∴∠ADB=∠CDE；
（3）BP的长度不变，理由如下：
如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．
∵∠BAC=90°，
∴∠CBE+∠ABO=90°．
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO．
∵∠CEB=∠AOB=90°，AB=AC，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∴CE=BO，BE=AO=4．
∵BD=BO，
∴CE=BD．
∵∠CEP=∠DBP=90°，∠CPE=∠DPB，
∴△CPE≌△DPB（AAS），
∴BP=EP=2．
点评 本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．
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