Question

8．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）当运动时间为t秒时，AP的长为t厘米，QC的长为4-t厘米；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．

Answer 1

分析 （1）结合路程=速度×时间进行填空；
（2）需要分类讨论：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况；
（3）∠CMQ=60°不变．通过证△ABQ≌△CAP（SAS）得到：∠BAQ=∠ACP，由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

解答 解：（1）依题意得：AP=t，QC=4-t．
故答案是：t；4-t；

（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=$\frac{4}{3}$；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=$\frac{8}{3}$；
∴当第$\frac{4}{3}$秒或第$\frac{8}{3}$秒时，△PBQ为直角三角形．

（2）∠CMQ=60°不变．理由如下：
∵在△ABQ与△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠CAP=60°}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

点评 本题考查了三角形综合题，其中涉及到了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．掌握判定三角形全等的方法，分类讨论是解决问题的关键．