Question

13．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=12，CD=AC=16，M、N分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：MN⊥AC；
（2）求MN的长．

Answer 1

分析 （1）连接AM、CM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=CM=BM=DM=$\frac{1}{2}$BD，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；
（2）利用勾股定理类似求出BD，再求出AM、AN，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 （1）证明：如图，连接AM、CM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
∴AM=CM=BM=DM=$\frac{1}{2}$BD，
∵N是AC的中点，
∴MN⊥AC；

（2）解：∵∠BCD=90°，BC=12，CD=16，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=20，
∴AM=$\frac{1}{2}$×20=10，
∵AC=16，N是AC的中点，
∴AN=$\frac{1}{2}$×16=8，
∴MN=$\sqrt{A{M}^{2}-A{N}^{2}}$=8．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记性质与定理并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．