一般地.n个相同的因数a相乘a•a•-•a.记为an.如2×2×2=23=8.此时.3叫做以2为底8的对数.记为log28(即log28=3)．一般地.若an=b.则n叫做以a为底b的对数.记为lognb(即lognb)．如34=81.则4叫做以3为底81的对数.记为log381(即log381=4)．(1)计算下列各对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为aⁿ，如2×2×2=2³=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8（即log₂8=3）．一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_nb（即log_nb）．如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．
（1）计算下列各对数的值：log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log₂4、log₂16、log₂64之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则：aⁿ•a^m=a^n+m以及对数的含义说明上述结论．

分析（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．
（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log₂4+log₂16=log₂64．
（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；
（4）首先可设设M=a^m，N=aⁿ，再根据幂的运算法则：aⁿ•a^m=a^n+m以及对数的含义证明结论．

解答解：（1）log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6，
故答案为：2；4；6；

（2）∵4×16=64，
∴log₂⁴+log₂¹⁶=log₂⁶⁴；

（3）log_a^M+log_a^N=log_a^MN；

（4）设M=a^m，N=aⁿ，
∵$lo{g}_{{a}^{{a}^{m}}}$=m，$lo{g}_{{a}^{{a}^{n}}}$=n，
$lo{g}_{{a}^{{a}^{m+n}}}$=m+n，
∴$lo{g}_{{a}^{{a}^{m}}}$+$lo{g}_{{a}^{{a}^{n}}}$=$lo{g}_{{a}^{{a}^{m+n}}}$，
∴$lo{g}_{{a}^{M}}$+$lo{g}_{{a}^{N}}$=$lo{g}_{{a}^{{a}^{MN}}}$．