题目内容

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线，y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是Rt△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）若在抛物线的对称轴上恰好存在唯一的点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；请确定此时点E的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）先根据OA=1，OC=4，得到点A坐标为（-1，0），点B坐标为（4，5），再根据待定系数法得到抛物线的解析式；
（2）根据待定系数法得到直线AB的解析式，设点E（t，t+1）．则F（t，t2-2t-3），-1＜t＜4，根据两点间的距离公式得到EF=-（t-
3
2
）2+
25
4
，从而得到线段EF的长度最大时点E的坐标；
（3）分两种情况：①当1＜t＜4时；②当-1＜t＜1时；进行讨论可得点E的坐标．
解答：解：（1）∵OA=1，OC=4，
∴点A坐标为（-1，0），点B坐标为（4，5），
将点A坐标和点B坐标代入抛物线的解析式，可得
1-b+c=0
16+4b+c=5
，
解得
b=-2
c=-3
．
故抛物线的解析式为y=x2-2x-3．

（2）∵直线AB经过点A（-1，0），B（4，5），
∴直线AB的解析式为y=x+1．
设点E（t，t+1）．则F（t，t2-2t-3），-1＜t＜4，
∴EF=（t+1）-（t2-2t-3）=-t2+3t+4=-（t-
3
2
）2+
25
4
，
∴当t=
3
2
时，EF的最大值为
25
4
．
∴点E的坐标为（
3
2
，
5
2
）．

（3）若在抛物线的对称轴上恰好存在唯一的点P．使△EFP是以EF为直角边的直角三角形．则以EF为直径的圆必与抛物线的对称轴相切．
①当1＜t＜4时，

t-1=
-t2+3t+4
2
，
解得t=3．
此时点E的坐标为（3，2）．
②当-1＜t＜1时

1-t=
-t2+3t+4
2
，
解得t=
5-
33
2
，
此时点E的坐标为（
5-
33
2
，
7-
33
2
）．
综上，点E的坐标为（3，4）和（
5-
33
2
，
7-
33
2
）．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，两点间的距离公式，函数最值问题，分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
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下列运算正确的是（　　）
A、x6•x3=x18
B、（-x2）3=x6
C、x6÷x5=x（x≠0）
D、x6+x5=x11
已知抛物线与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C（0，-3），点E为直线AC上的一动点，DE∥y轴交抛物线于点D．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的表达式；
（2）当点E的坐标为（-2，-1），连接AD，点P在x轴上，使△APC与△ADC相似，请求出点P的坐标；
（3）当点E在直线AC上运动时，是否存在以D、E、O、C为顶点，OC为一边的平行四边形？若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
若（x2+px-
1
3
）（x2-3x+q）的积中不含x项与x3项，
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（-2p2q）2+（3pq）-1+p2012q2014的值．
分解因式：
（1）x3-2x2+x．
（2）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy．
如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=30°，∠D=55°，求∠ACD的度数．
如图，在一个正方形网格中有一个△ABC（定点都在格点上）．
①在网格中画出△ABC向右平移5个单位，再向下平移3各单位得到的△A1B1C1．
②连接AA1、BB1，求正方形AA1B1B的面积．
③估计正方形AA1B1B的边长在哪两个整数之间？
已知抛物线y=ax2+bx+x（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B（x1，0），抛物线的顶点为P．
（Ⅰ）若点P（-1，-3），求抛物线的解析式；
（Ⅱ）设点P（-1，k），k＞0，点Q是y轴上的一个动点，当QB+QP的最小值等于5时，求抛物线的解析式和Q点的坐标；
（Ⅲ）若抛物线经过点M（m，-a），a＞0，求x1的取值范围．
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，顶点A，C，D均在坐标系轴上，且点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（3，0）．过点A，C，D的抛物线为y1=ax2+bx+c，
（1）求抛物线y1=ax2+bx+c的函数表达式；
（2）直线AB的表达式为y2=mx+n，且AB与y1的另一个交点为E，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）抛物线y1=ax2+bx+c的顶点为Q，在直线AE的下方，点P为抛物线上的一个动点，当S△AQE=S△APE时，求点P的坐标．

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