Question

已知抛物线y=ax²+bx+x（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B（x₁，0），抛物线的顶点为P．
（Ⅰ）若点P（-1，-3），求抛物线的解析式；
（Ⅱ）设点P（-1，k），k＞0，点Q是y轴上的一个动点，当QB+QP的最小值等于5时，求抛物线的解析式和Q点的坐标；
（Ⅲ）若抛物线经过点M（m，-a），a＞0，求x₁的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（Ⅰ）根据顶点坐标，设出抛物线的顶点式y=a（x+1）²-3，将点A的坐标代入可得出a的值，继而确定此抛物线的解析式；
（Ⅱ）设顶点P（-1，k）关于y轴的对称点P'，则P'（1，k），当直线BP′与y轴的交点为Q时，QB+QP取得最小值，由最小值为5，在Rt△BHP'中求出HP'的长，得出P点坐标后可确定抛物线解析式，求出直线BP'的坐标，可得出点Q的坐标；
（Ⅲ）首先求出x=-1-

b

a

，进而利用当x₁＞1时，-

b

2a

＞1＞0，当x₁＜1时，-

b

2a

＜1，分别得出答案．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线顶点P（-1，-3），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x+1）²-3，
将A（1，0）代入可得：0=4a-3，
解得：a=

3

4

，
故抛物线的解析式为y=

3

4

（x+1）²-3=

3

4

x²+

3

2

x-

9

4

；

（Ⅱ）如图，∵抛物线的对称轴为x=-1，且经过A（1，0），
∴B（-3，0），
设顶点P（-1，k）关于y轴的对称点P'，则P'（1，k），
当直线BP′与y轴的交点为Q时，QB+QP取得最小值，
过点P′作P′H⊥y轴的交点为H，由B（-3，0），P′（1，k），得BH=4，
在Rt△BHP′中，HP′=

BP′2-BH2

=

52-42

=3，
由k＞0得k=3，
∴P（-1，3），
设y=a（x+1）²+3，把点A（1，0）代入得：0=4a+3，
解得：a=-

3

4

，
∴y=-

3

4

（x+1）²-3，
故可得点B的坐标为（-3，0），
设直线BP'的解析式为：y=kx+b，
将点B（-3，0）、点P'（1，3）代入可得：

-3k+b=0 k+b=3

，
解得：

k= 3 4 b= 9 4

，
故直线BP'的解析式为：y=

3

4

x+

9

4

，
令x=0，则y=

9

4

，
故Q的坐标为（0，

9

4

）；

（Ⅲ）方法一：
∵抛物线经过点A（1，0），
∴a+b+c=0，
即c=-（a+b），
∴y=ax²+bx+c=ax²+bx-a-b=（x-1）（ax+a+b）
∴x=-1-

b

a

，
∵a＞0，又抛物线过点M（m，-a），
∴点M（m，-a）在x轴下方，
即-a≥

4ac-b2

4a

，
∴-4a²≥-4a（a+b）-b²，∴b（b+4a）≥0，
当x₁＞1时，-

b

2a

＞1＞0，
∵a＞0，∴b＜0，
∴b+4a≤0，
∴-

b

a

≥4，
∴x₁=-1-

b

a

≥3，
当x₁＜1时，-

b

2a

＜1，
∵a＞0，∴-b＜2a，
∴b+2a＞0，
∴b+4a＞0，∴b≥0，
∴-

b

a

≤0，
∴x₁=-1-

b

a

≤-1，
综上所述，x₁≥3或x₁≤-1．
方法二：设y=a（x-1）（x-x₁），
又∵抛物线过点M（m，-a），∴a（m-a）（m-x₁）=-a，
∴（m-1）（m-x₁）=-1，
即m²-（x₁+1）m+（x₁+1）=0，
△=[-（x₁+1）]²-4（x₁+1）≥0，
（x₁+1）（x₁-3）≥0，
故x₁≥3或x₁≤-1．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、轴对称求最短路径及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是数形结合思想及方程思想的综合运用，难度较大．