Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，顶点A，C，D均在坐标系轴上，且点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（3，0）．过点A，C，D的抛物线为y₁=ax²+bx+c，
（1）求抛物线y₁=ax²+bx+c的函数表达式；
（2）直线AB的表达式为y₂=mx+n，且AB与y₁的另一个交点为E，求当y₁＜y₂时，自变量x的取值范围；
（3）抛物线y₁=ax²+bx+c的顶点为Q，在直线AE的下方，点P为抛物线上的一个动点，当S_△AQE=S_△APE时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由y₁=ax²+bx+c得出C点坐标为（0，c），根据DC=AD=5列出方程求出c的值，得到C点坐标，将A、C、D三点坐标代入y₁=ax²+bx+c，通过待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式，再求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出抛物线y₁在直线y₂图象下方时对应的自变量x的取值范围；
（3）当S_△AQE=S_△APE时，根据三角形的面积公式可知点P为经过点Q且与直线AB平行的直线上与抛物线的交点．

解答：解：（1）∵抛物线y₁=ax²+bx+c过y轴上的点C，
∴C点坐标为（0，c）．
∵四边形ABCD是菱形，点A（-2，0），点D（3，0），
∴DC=AD=5，
∴3²+c²=5²，
∴c=±4（负值舍去），
∴C（0，-4）．
∵抛物线y₁=ax²+bx+c过点A，C，D，
∴

4a-2b+c=0 c=-4 9a+3b+c=0

，
解得

a= 2 3 b=- 2 3 c=-4

．
∴抛物线的函数表达式为y₁=

2

3

x²-

2

3

x-4；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AD=5，BC∥AD，
∵C（0，-4），
∴B（-5，-4）．
将A（-2，0）、B（-5，-4）代入y₂=mx+n，
得

-2m+n=0 -5m+n=-4

，
解得

m= 4 3 n= 8 3

．
∴直线AB的解析式为y₂=

4

3

x+

8

3

．
由（1）得：y₁=

2

3

x²-

2

3

x-4．
则

y= 2 3 x2- 2 3 x-4 y= 4 3 x+ 8 3

，
解得：

x1=-2 y1=0

，

x2=5 y2= 28 3

，
由图可知：当y₁＜y₂时，-2＜x＜5；

（3）设经过点Q且与直线AB平行的直线为y=

4

3

x+t．
∵y₁=

2

3

x²-

2

3

x-4=

2

3

（x²-x+

1

4

）-

1

6

-4=

2

3

（x-

1

2

）²-

25

6

，
∴顶点Q的坐标为（

1

2

，-

25

6

）．
将Q（

1

2

，-

25

6

）代入y=

4

3

x+t，得

4

3

×

1

2

+t=-

25

6

，
解得t=-

29

6

，
∴y=

4

3

x-

29

6

．
由

y= 4 3 x- 29 6 y= 2 3 x2- 2 3 x-4

，
解得

x1= 1 2 y1=- 25 6

，

x2= 5 2 y2=- 3 2

，
∴点P的坐标为（

5

2

，-

3

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，菱形的性质，三角形的面积，两函数交点坐标的求法．综合性较强，难度适中．利用数形结合、方程思想是解题的关键．