Question

11．已知抛物线y=x²+2x-3与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两单，与y轴交于点C．
（1）填空：点B的坐标是（1，0），直线AC的函数关系式为y=-x-3；
（2）设点D（-2，a），请问，当a为何值时，DB+DC值最小？
（3）若直线AC上是否存在一点P，使以点A、O、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在y=x²+2x-3中令y=3可求得A、B坐标，再利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（2）可求得点B关于直线x=-2的对称点B′的坐标，连接B′C，交直线x=-2于点D，则D满足条件，利用待定系数法可求得直线B′C的解析式，令x=-2可求得a的值；
（3）可设出P点坐标，可表示出AP、AO、AB、AC的长，当△AOP和△ABC相似时，分两种情况△APO∽△ACB和△APO∽△ABC，再利用相似三角形的性质可分别求得P点坐标．

解答 解：（1）在y=x²+2x-3中，令y=0可得x²+2x-3=0，解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0），且C（0，-3），
设直线AC解析式为y=kx+b，把A、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
故答案为：1；0；-x-3；
（2）由题意可知点D在直线x=-2上，
∵B（1，0），
∴点B关于直线x=-2的对称点B′的坐标为（-5，0），
连接B′C，交直线x=-2于点D，如图1，

则BD=B′D，
∴BD+CD=B′D+CD=B′C，
∴此时BD+CD最小，
设直线B′C的解析式为y=mx+n，把B′、C的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-5m+n}\\{-3=n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{5}}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直线B′C的解析式为y=-$\frac{3}{5}$x-3，
把D点坐标代入可得a=-$\frac{3}{5}$×（-2）-3=-$\frac{9}{5}$，
即a的值为-$\frac{9}{5}$；
（3）∵P点在直线AC上，
∴可设P点坐标为（x，-x-3），
由条件可知P点只能在线段AC上，
∴-3＜x＜0，
∴x+3＞0，
∴AO=3，AB=4，AC=3$\sqrt{2}$，AP=$\sqrt{（x+3）^{2}+（-x-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$（x+3），
当△AOP和△ABC相似时，有两种情况：即△APO∽△ACB和△APO∽△ABC，
当△APO∽△ACB时，则有$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AO}{AB}$，即$\frac{\sqrt{2}（x+3）}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$，解得x=-$\frac{3}{4}$，此时P点坐标为（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{9}{4}$）；
当△APO∽△ABC时，则有$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AO}{AC}$，即$\frac{\sqrt{2}（x+3）}{4}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，解得x=-1，此时P点坐标为（-1，-2）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{9}{4}$）或（-1，-2）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质等知识点．在（1）中注意二次函数与一元二次方程的关系的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中分两种情况进行求解是解题的关键．本题考查知识比较基础，难度不大．