Question

19．阅读：如图1，点P（x，y）在平面直角坐标中，过点P作PA⊥x轴，垂足为A，将点P绕垂足A顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到对应点P′，我们称点P到点P′的运动为倾斜α运动．例如：点P（0，2）倾斜30°运动后的对应点为P′（1，$\sqrt{3}$）．
图形E在平面直角坐标系中，图形E上的所有点都作倾斜α运动后得到图形E′，这样的运动称为图形E的倾斜α运动．

理解
（1）点Q（1，2）倾斜60°运动后的对应点Q′的坐标为（1+$\sqrt{3}$，1）；
（2）如图2，平行于x轴的线段MN倾斜α运动后得到对应线段M′N′，M′N′与MN平行且相等吗？说明理由．
应用：（1）如图3，正方形AOBC倾斜α运动后，其各边中点E，F，G，H的对应点E′，F′，G′，H′构成的四边形是什么特殊四边形：矩形；
（2）如图4，已知点A（0，4），B（2，0），C（3，2），将△ABC倾斜α运动后能不能得到Rt△A′B′C′，且∠A′C′B′为直角，其中点A′，B′，C′为点A，B，C的对应点．请求出cosα的值．

Answer 1

分析 理解：
（1）根据题目中称点P到P′的运动为倾α运动的定义来求Q′的坐标；
（2）根据题目中图形E的倾α运动的定义可以判断M′N′与MN的关系；
应用：
（1）参考理解（2）可得，正方形AOBC旋转后形成菱形，菱形的四边中点组成的四边形是矩形；
（2）先求出A′B′=4=OA′，利用三角函数求得cosα的值．

解答 解：（1）如图1，

过点Q作QA⊥x轴，垂足为A，过旋转Q′作x轴的垂线，垂足为B，
在Rt△ABQ′中，∠Q′AB=30°，BQ′=1，
由勾股定理得AB=$\sqrt{3}$，
∴OB=1+$\sqrt{3}$，
∴Q′的坐标为（1+$\sqrt{3}$，1）．故答案为：（1+$\sqrt{3}$，1）．

（2）M′N′与MN平行且相等，
理由如下：
如图2，

分别过点M、N作MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，
∴MN∥AB，且MN=AB，
由定义可知，M′A∥N′B，M′A=N′B，
∴四边M′ABN′是平行四边形，
∴M′N′∥AB，M′N′=AB，
∴M′N′与MN平行且相等．
应用：（1）由理解（2）可得，正方形AOBC旋转后形成菱形，
菱形的四边中点组成的四边形是矩形．
故答案为：矩形；
（2）能，cosα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
如图3，

设AB的中点为D，
∴D点坐标为（1，2），
∴CD∥x轴，且CD=2，
∵D点对应点D′是A′B′中点，C′D′=2，
∴C′D′=$\frac{1}{2}$A′B′，
∴A′B′=4=OA′，
∵∠α=$\frac{1}{2}$∠OA′B′，
∴cosα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了勾股定理，平行四边形的性质和判定，菱形，正方形，矩形的性质和判定，解本题的关键是旋转前后找到相等的量．