Question

11．在△ABC中，⊙O经过A、D 两点交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF．
（1）如图1，若AB=AC，点D是BC的中点，求证：DE=DF；
（2）如图2，连接EF，若∠BAC=60°，∠AEF=2∠BAD，求证：∠AFE=2∠CAD；
（3）如图3，∠ACB=∠AEF+∠DAF，EF∥BC，若AF=2，AE=3，⊙O的半径为$\frac{\sqrt{21}}{3}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明DE=DF只要证明$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，只要证明∠BAD=∠CAD即可．
（2）由∠AFE=180°-∠AEF-∠BAC=120°-∠AEF=120°-2∠BAD=2（60°-∠BAD）=2∠CAD，即可证明．
（3）如图3中，连接AF，作AH⊥AF于H，作直径AM，连接MF．首先证明DF=DC，AE=AD，由△AFM∽△AHD，得$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AF}{AH}$，推出AH=$\frac{3}{7}$$\sqrt{21}$，在Rt△ADH中，求出DH，在Rt△AFH中，求出FH，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵AB=AC，BD=DC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，
∴DE=DF．

（2）证明：如图2中，

∵∠AFE=180°-∠AEF-∠BAC=120°-∠AEF=120°-2∠BAD=2（60°-∠BAD）=2∠CAD，
∴∠AFE=2∠CAD．

（3）解：如图3中，连接AF，作AH⊥AF于H，作直径AM，连接MF．

∵∠DFC=∠DAF+∠ADF=∠DAF+∠AEF=∠AEF+∠DEF，
∵∠ACB=∠AEF+∠DAF
∴∠ACB=∠DFC=∠AED，
∴DF=DC，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠C=∠ADE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD=3，
∵∠AMF=∠ADH，∠AFM=∠AHD=90°，
∴△AFM∽△AHD，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AF}{AH}$，
∴AH=$\frac{3}{7}$$\sqrt{21}$，
在Rt△ADH中，DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{6}{7}$$\sqrt{7}$，
在Rt△AFH中，FH=$\sqrt{A{F}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴CD=DF=DH-FH=$\frac{5}{7}$$\sqrt{7}$．

点评 本题考查圆综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．