Question

10．在直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（2，0），△OBC的面积记为S₁，过O、B、C三点的半圆面积记为S₂；过O、B、C三点的抛物线与x轴所围成的图形面积记为S₃，则S₁、S₂、S₃的大小关系是S₂＞S₃＞S₁．（用“＞”连接）

Answer 1

分析 方法一：根据题意画出图象，结合图象即可得；方法二：根据三角形面积公式、圆的面积公式分别求得S₁、S₂，利用微积分求得S₃，比较即可得．

解答 解：方法一，如图所示：

显然S₂＞S₃＞S₁；
方法二，
由图可知S₁=$\frac{1}{2}$•OC•y_B=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
S₂=$\frac{1}{2}$•π•（$\frac{OC}{2}$）²=$\frac{1}{2}$•π•1=$\frac{1}{2}$π，
∵抛物线过点O（0，0）、C（2，0）、B（1，1），
∴设抛物线解析式为y=ax（x-2），
将B（1，1）代入，得：-a=1，即a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x，
则S₃=${∫}_{0}^{2}$（-x²+2x）=-$\frac{1}{3}$×2³+2²=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$π＞$\frac{4}{3}$＞1，
∴S₂＞S₃＞S₁，
故答案为：S₂＞S₃＞S₁．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点，根据题意画出函数图象是解题的关键．