Question

20．已知△ABC是等边三角形且边长为$\sqrt{7}$．

（1）如图1，若△CDE为等边三角形，A、C、D在一条直线上，且∠DAE=30°时，求BD；
（2）如图2，若∠CEB=60°，EB=3，CE=2，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CBD，解直角三角形即可得到结论；
（2）作∠EAF=60°，且AF=AE，则△AEF是等边三角形，连接CF，EF，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ACF，CF=BE=4，根据三角形的内角和得到∠EBC+∠BCE=120°，推出∠ECF=120°，过E作ED⊥FC交FC的延长线于D，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC与△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
∵∠DAE=30°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ABD=90°，
∵∠BAC=60°，AB=$\sqrt{7}$，
∴AD=2$\sqrt{7}$；

（2）作∠EAF=60°，且AF=AE，
则△AEF是等边三角形，
连接CF，EF，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE与△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF，
∴∠ABE=∠ACF，CF=BE=4，
∵∠CEB=60°，
∴∠EBC+∠BCE=120°，
∵∠ACF=∠ABE=60°+∠CBE，
∴∠ACF+∠ACE=240°，
∴∠ECF=120°，
过E作ED⊥FC交FC的延长线于D，
则∠DCE=60°，∠DEC=30°，
∵CE=2，
∴CD=1，
∴DE=$\sqrt{3}$，
∴DF=1+CF=1+BE=4，
∴EF=$\sqrt{16+3}$=$\sqrt{19}$，
∴AE=$\sqrt{19}$．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．