Question

18．D、E是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的两点，满足∠DAE=135°．求证：CD²+BE²=DE²．

Answer 1

分析 将△ABE绕点A逆时针转90°，得△ACF，连结DF，则△ABE≌△ACF，∠EAF=90°，根据SAS可证△ADF≌△ADE，可得DE=DF，再由勾股定理和等量代换即可解答

解答 证明：∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴将△ABE绕点A逆时针转90°，得△ACF，连结DF，
则△ABE≌△ACF，∠EAF=90°，
∴BE=CF，∠ACF=∠ABE=45°，AE=AF，
∵∠DAE=135°，∠EAF=90°，
∴∠DAF=135°，
在△ADF与△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠DAE=∠DAF=135°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADE，
∴DE=DF，
∵∠DCF=∠DCA+∠ACF=90°，
∴CD²+CF²=DF²，
∴CD²+BE²=DE²．

点评 此题主要考查勾股定理及三角形全等的判定与性质，解答时要充分分析里面的条件与问题之间的联系，添加辅助线证明△ADF≌△ADE是解题的关键．