Question

如图，已知：⊙C的圆心C在x轴上，AB是⊙C的直径，⊙C与y轴交于D、E两点，且∠FCE=∠FDO．
（1）求证：直线FD是⊙C的切线；
（2）若点A是CF的中点，且CF=4，∠FDO=60°．求直线FD的解析式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接CD，求出∠CDE=∠CED，∠FCE+∠CED=90°，推出∠FDO+∠CDE=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出CD=CA=

1

2

CF=2，∠CDE=30°，求出OC=1，OD=

3

，OF=3，求出F（-3，0），D（0，

3

），设直线FD的解析式为：y=kx+b，把F、D的坐标代入求出即可．

解答：
（1）证明：连接CD，
∵CD=CE，∠COE=90°，
∴∠CDE=∠CED，∠FCE+∠CED=90°，
∵∠FDO=∠FCE，
∴∠FDO+∠CDE=90°，
∴CD⊥FD，
∵CD过圆心C，
∴直线FD是⊙C的切线；

（2）解：∵点A是CF的中点，CF=4，
∴CD=CA=

1

2

CF=2，
∵∠FDC=90°，∠FDO=60°，
∴∠CDE=30°，
∴OC=1，OD=

3

，
∴OF=CF-OC=4-1=3，
∴F（-3，0），D（0，

3

），
设直线FD的解析式为：y=kx+b，
∴

0=-3k+b 3 =b

，
解得：k=

3

3

，b=

3

，
∴直线FD的解析式为：y=

3

3

x+

3

．

点评：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形性质，直角三角形性质，切线的判定，解直角三角形，求一次函数的解析式的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较典型，但是有一定的难度．