Question

5．若正实数x、y、z、r满足：（1）x²+y²=z²；（2）z$\sqrt{{x}^{2}-{r}^{2}}$=x²，求证：xy=zr（提示：可根据条件构造直角三角形和其斜边上的高来证明）．

Answer 1

分析 由条件（1）可构造直角三角形ABC，使AC=y，BC=x，AB=z，如图，由条件（2）联想射影定理，作斜边AB上的高CD，知CD=r，由三角形面积公式知AB•CD=AC•BC，即xy=zr．

解答 解：设AC=y，BC=x，AB=z
∵x²+y²=z²，
∴△ACB是直角三角形，
设CD是AB边上的高线，
∵z$\sqrt{{x}^{2}-{r}^{2}}$=x²，
∴BD×AB=BC²，
故CD⊥AB，
∴AB•CD=AC•BC，
即xy=zr．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是根据条件构造直角三角形和其斜边上的高来证明．