Question

17．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=AD=6，∠BAD=60°．
（1）证明：BC=CD；并求BC的长；
（2）设点E、F分别是AB、AD边上的中点，连结EF、EC、FC，求△CEF三边的长和cos∠ECF的值．

Answer 1

分析 （1）用HL易证△ABC≌△ADC，再用勾股定理或锐角三角函数求BC．
（2）易知△AEF是等边三角形，得到AE=AF=EF=3，用勾股定理计算EC=FC=$\sqrt{21}$；作EG⊥CF构造直角三角形求出cos∠ECF．

解答 解：（1）连结AC
在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（HL
∴BC=CD，
∵△ABC≌△ADC，
∴∠CAB=30°，AB=6，
∴BC=2$\sqrt{3}$
（2）∵∠BAD=60°，AE=AF=3，
∴EF=3，EC=FC=$\sqrt{{3}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{21}$，
作EG⊥CF，设CG=x，则$\sqrt{21}$²-x²=EG²=3²-（$\sqrt{21}$-x）²
 解得x=$\frac{11\sqrt{21}}{14}$
∴cos∠ECF=$\frac{11\sqrt{21}}{14}$/$\sqrt{21}$=$\frac{11}{14}$．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理和锐角三角函数，本题难点是构造直角三角形计算角的余弦值．