Question

如图，A为x轴负半轴上一点，C（0，-2），D（-3，-2）．
（1）求△BCD的面积；
（2）若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，判断∠CPQ与∠CQP的大小关系，并说明你的结论．
（3）若∠ADC=∠DAC，点B在x轴正半轴上任意运动，∠ACB的平分线CE交DA的延长线于点E，在B点的运动过程中，∠E与∠ABC的比值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,坐标与图形性质,三角形的面积,三角形的外角性质

专题：综合题

分析：（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；
（3）在△AOE和△BOC中，利用三角形内角和定理列式整理表示出∠ABC，然后相比即可得解．

解答：解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），
∴CD=3，且CD∥x轴，
∴△BCD的面积=

1

2

×3×2=3；
（2）∵BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ=∠CBQ，
∵AC⊥BC，
∴∠CBQ+∠CQP=90°，
又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，
∴∠CQP=∠CPQ；
（3）在B点的运动过程中，∠E与∠ABC的比值不变．理由如下：
在△AOE和△BOC中，∠E+∠EAO+∠AOE=180°，
∠ABC+∠BCO+∠BOC=180°，
∵CD∥x轴，
∴∠EAO=∠ADC，
又∵∠AOE=∠BOC（对顶角相等），
∴∠E+∠EAO=∠ABC+∠BCO，
∴

∠E

∠ABC

=

1

2

．
即在B点的运动过程中，∠E与∠ABC的比值不变．

点评：本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．