Question

13．将两个全等的直角三角形ABC和DEC按图1放置，点E在AB上，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠EDC=30°．
（1）求证：AE=BE；
（2）如图2，△ABC不动，将△DEC绕点C旋转，猜想△AEC和△DBC面积的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先判定△CBE为等边三角形得到∠BCE=60°，则∠ACE=30°，所以∠ACE=∠A，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）作AN⊥CE于N，DM⊥BC于M，如图，证明△ANC≌△DMC得到AN=DM，然后根据三角形面积公式可判断S_△AEC=S_△DBC．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°．
∴∠B=60°，
∵△ABC和△DCE全等，
∴CE=CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∴∠ACE=30°，
∴∠ACE=∠A，
∴AE=BE；
（2）解：△AEC和△DBC面积相等．理由如下：
作AN⊥CE于N，DM⊥BC于M，如图，
∴CA=CD，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
即∠1+∠MCN=90°，∠2+∠MCN=90°，
∴∠1=∠2，
在△ANC和△DMC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANC=∠DMC}\\{∠1=∠2}\\{AC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ANC≌△DMC（AAS），
∴AN=DM，
而S_△AEC=$\frac{1}{2}$•CE•AN，S_△DBC=$\frac{1}{2}$•BC•DM，
S_△AEC=S_△DBC．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和三角形面积公式．