Question

1．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD交AD于F，交AC于E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC=11，AB=6，求BD长．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得到∠AFE=∠AFB=90°，由角平分线的定义得到∠EAF=∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF=∠ABF，得到AE=AB，于是得到结论；
（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD=ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF=∠DBF，等量代换得到∠AED=∠ABD，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵BE⊥AD，
∴∠AFE=∠AFB=90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠BAF，
又∵在△AEF和△ABF中
∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°
∴∠AEF=∠ABF，
∴AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形；

（2）解：连接DE，
∵AE=AB，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BE，
∴BD=ED，
∴∠DEF=∠DBF，
∵∠AEF=∠ABF，
∴∠AED=∠ABD，
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
又∵△CED中，∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，
∴EC=ED，
∴CE=BD．
∴BD=CE=AC-AE=AC-AB=11-6=5．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．