Question

2．如图，已知A（-4，-$\frac{1}{2}$），B（-1，-2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＞0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求一次函数解析式及m的值；
（2）在双曲线（x＜0）上是否存在一点P，使△PCA和△PDB面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（a，$\frac{2}{a}$），根据面积公式和已知条件列式可求得a的值，并根据条件取舍，得出点P的坐标．

解答 解：设一次函数的解析式为：y=kx+b，
把A（-4，-$\frac{1}{2}$），B（-1，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=-\frac{1}{2}}\\{-k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$过B（-1，-2），
∴m=-1×（-2）=2；
（2）存在，在双曲线（x＜0）上取一点P，连接PC、PA、PB、PD，
如图，设点P的坐标为（a，$\frac{2}{a}$），
由点A、点B的坐标可知：AC=$\frac{1}{2}$，OC=4，OD=2，BD=1，
则△PAC的边AC上的高为4+a，△PBD边BD上的高为$\frac{2}{a}$+2，
由题意得：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（a+4）=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{2}{a}$+2），
解得：a₁=-2，a₂=2（舍去），
∴$\frac{2}{a}$=$\frac{2}{-2}$=-1，
∴P（-2，-1）．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式；注意对于函数上的点可以利用解析式来表示图象上点的坐标，并根据已知条件列等式解出即可．